Das Urnenmodell mal ne kleine Mathe Nachhilfe für Mathe

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Das Urnenmodell:

Viele Zufallsexperimente lassen sich durch ein übersichtliches Urnenmodell simulieren. Auch die Wahrscheinlichkeiten des „Laplace-Würfels“ lassen sich leicht durch das Ziehen von sechs unterschiedlichen Kugeln aus einer Urne Simulieren.
Aber auch ganz normale Wahrschenlichkeitsverteilungen lassen sich durch ein solches Experiment ausrechnen z.B. kann auch bei Geburt eines Kindes durch eine Urne simuliert werden, ob das Kind ein Junge oder ein Mädchen ist. Da es zu 0,514 ein Junge ist braucht man in der Urne 514 blaue Kugeln, die für Junge stehen und 486 rote.
Beim Urnenmodell braucht man gleichartige Kugeln, die sich nur in der Farbe, oder durch eine Nummer unterscheide. Man zieht eine feste Anzahl an Kugeln und numeriert die Merkmale.

2 Möglichkeiten des Urnenmodells:
a) Ziehen ohne Zurücklegen
b) Ziehen mit Zurücklegen

Unterschied:
Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich nach jedem Ziehen die Wahrscheinlichkeit
Beim Ziehen mit Zurücklegen ändert sich die Wahrscheinlichkeit nicht.

Für das Experiment:
Urne mit N Kugeln
S dieser N Kugeln sind schwarz
wir ziehen n Kugeln aus der Urne
Jetzt kann man verschiedene Wahrscheinlichkeiten Berechnen
Das Ergebnis, mit dem wir uns am meisten beschäftigen werden ist: unter n gezogenen Kugeln befinden sich genau s schwarze. Dafür schreiben wir als Kurzform Z.
Das Ereignis, dass genau s schwarze Kugeln gezogen werden schreibt man Z=s
Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit P(Z=s) müssen wir unterscheiden ob wir mit oder ohne Zurücklegen ziehen

Die Wahrscheinlichkeit für genau s schwarze Kugeln beim Ziehen ohne Zurücklegen:

Beispiel: Die Urne enthält 9 Kugeln, davon 5 schwarze. Es werden 4 kugeln ohne zurücklegen
gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind genau 2 Kugeln schwarz?
Lösung: Baumdiagramm

Baumdiagramm

Das Ergebnis Z=2 tritt nur ein, wenn die Urne die Form (3/2) hat. Dies kann auf 6 verschiedene Wege erhalten werden.

P ((3/2))=P(Z=2)= 10/21 =47,6%

Bei unserem Experiment haben wir die 4 Kugeln nacheinander gezogen. Wie wir schon früher festgestellt haben ist das das selbe, wie, wenn man alle 4 Kugeln auf einmal zieht.

Dies kann man auch durch das Berechnen der gesuchten Laplace-Wahrscheinlichkeit beweisen.

Gedankenversuch:
9 Kugeln unterschiedlich numeriert
schwarze Kugeln Nummer 1-5
Ergebnisraum: W Menge aller 4-Mengen von Kugeln, die man aus der Urne ziehen kann
wahrscheinlichkeit: 4 aus 9
IWI= 4 aus 9
für uns notwendige Ereignisse: 2 schwarze Kugeln
Mögliche Ziehweisen: 2 aus 5 (für schwarz)
2 aus 4 (für Rest)

Da ich letzten Freitag Mathe geschrieben habe und in Stochastik nicht gerade der King bin mußte ich mich mit dem Urnenmodell näher beschäftigen und habe viele hilfreiche Informationen aus dem Buch zusammengeschrieben. Ich hab lange überlegt, ob es sinnvoll ist diesen Bericht hier zu veröffentlichen, doch dann habe ich festgestellt, dass es vielen anderen Abiturienten vielleicht einige Arbeit erspart und möchte mich entschuldigen, das es sich nicht um einen großen Erfahrungsbericht handelt, denn mit Mathe stehe ich sowieso auf Kriegsfuß.